• 자료의 중심: 평균, 중앙값, 최빈치
  • 중앙값(Median Voter Theorem)
  • 평균과 중앙값의 관계
    • 평균과 중앙값
    • 히스토그램의 세 가지 꼬리 유형
  • 야구통계
    • 희생번트의 득실
    • 2010년 한국 프로야구 성적


1. 자료의 중심: 평균, 중앙값, 최빈치

  • 금융자산에 투자한다고 했을 때
    • 1년 동안 얼마 정도의 수익을 기대하느냐? (평균)
    • 앞으로 1년 동안 실제 실현되는 수익률이 기대했던 수익률과 어느 정도 편차가 날 것이냐? 편차들의 대푯값? (표준편차)
  • 데이터에 나타나는 평균적인 값, 평균적인 값으로부터 표준적으로 떨어져 있는 거리 1
    • 대표적으로 떨어져 있는 거리가 첫번째 그림은 작고, 두번째 그림은 크다.
    • 중심은 동일하고, 편차는 두번째 그림이 크다.
    • 예시
      • 첫번째 그림; 한국전력 주식 수익률
      • 두번째 그림; 삼성전자 주식 수익률 (편차가 큰 쪽이 투자 위험 크다)
  • 히스토그램에서 자료 요약할 때
    • 중심(평균, 중앙값)
    • 중심 주위로 퍼진 정도(표준편차, 사분위수 범위)


1) 평균(Mean)

2'

  • 평균 = 관측치 총합/관측치 개수
  • 평균이 중요하지만 전부는 아님 2
    • 첫번째 그림은 모든 자료가 평균 근처로 몰려 있으니까 평균만 알면 다 아는 것
      • 평균에 담긴 의미가 굉장히 강하다.
    • 두번째 그림은 좌우로 약간 차이는 있지만 평균 주위에 데이터가 집중되어 있어 평균만 알면 상당히 많은 것을 알 수 있음
    • 세번째 그림은 평균이 중간값인데 평균 근처에 데이터가 없음
      • 평균이 기하학적으로 보면 히스토그램을 좌우 균형시키는 무게중심점 같은 것이나 그 이상 특별한 의미 없음
      • ex) Yellowstone의 Old Faithful


2) 중앙값(Median)

  • 절반 이상의 숫자들이 이 값보다 크거나 같고 동시에 절반 이상의 숫자들이 이 값 보다 작거나 같은 수
  • 히스토그램은 중앙값에서 그 면적이 양분됨
  • n=홀수; (n+1)/2번째로 크거나 작은 숫자
  • n=짝수; n/2번째 숫자와 (n+1)/2번째 숫자의 평균으로 정의


3) 최빈치(Mode)

  • 가장 빈번하게 발생하는 값
  • 히스토그램은 최빈치에서 그 높이가 제일 높음
  • ex) 베이브 루스의 홈런, 46개


2. 중앙값(Median Voter Theorem)

Median Voter Theorem

2'''

  • 가로축은 유권자 개개인이 선호하는 세율
  • 두 후보가 캐치플레이즈로 세금을 많이 걷는 큰 정부, 세금을 적게 걷는 작은 정부를 운영한다고 제시
  • 상대방이 중앙값 위치를 선언했는데 내가 중앙값이 아닌 위치를 선정하면 패배
  • 결국 중앙값 투표자(median voter)의 성향을 대표할 수 밖에 없다.
  • 경제정책 면에서는 민주당, 공화당 후보의 경제정책이 상당한 정도로 수렴한다.


3. 평균과 중앙값의 관계

평균과 중앙값

  • 좌우대칭 히스토그램 3
    • 좌우 대칭이면 평균=중앙값
    • 히스토그램의 중심(평균, 중앙값) = 2
  • 숫자열의 변화에 따른 평균의 변화 4
    • 1,2,2,5
      • 평균 2 → 2.5 (히스토그램의 무게중심점)
      • 중앙값 2
    • 1,2,2,7
      • 평균 2 → 3 (히스토그램의 무게중심점)
      • 중앙값 2
  • 극단적인 값이 존재할 때 평균은 극단적인 값이 영향을 더 받고, 중앙값은 덜 받는다.
  • 히스토그램이 좌우대칭이면 평균과 중앙값이 같다.
  • 히스토그램이 비대칭적이면 평균보다는 중앙값 개념이 중심의 척도로서 적절하다.


히스토그램의 세 가지 꼬리 유형

5

  • 첫번째 히스토그램은 꼬리가 오른쪽이 길게 늘어져 있음 (right-skewed)
    • 중앙값 < 평균
    • ex) 소득 분포
      • 어느 사회, 어느 시대든 아주 소수의 부자들 존재
      • 50% 위치에 있는 사람의 가구소득 < 4인 기준 약 8천 만원 (1인당 GDP 2만 달러*4)
  • 두번째 히스토그램은 좌우대칭
  • 세번째 히스토그램은 꼬리가 왼쪽이 길게 늘어져 있음 (left-skewed)


4. 야구통계

희생번트의 득실

6

  • 무사 주자 1루 상황에서 희생번트를 하는 게 값어치가 있는가?
    • 무사 주자 1루 (첫번째 행)
      • 1728건 중에 39.6% 득점으로 이어졌고, 평균 득점은 0,8점
      • 0.813(모든 득점 카운트) > 0.396(득점했으면 1, 아니면 0)
    • 1사 주자 2루 (두번째 행)
      • 희생번트가 성공해서 번트를 한 타자는 죽고 1루에 있는 주자는 2루로 진출
      • 657건 중에 39% 득점으로 이어졌고, 평균 득점은 0.67점
    • 희생번트가 성공해봐야 득점확률이 올라가지도 않고, 평균득점이 올라가지도 않고, 성공해도 남는 게 없다.
  • 무사 주자 1,2루 상황에서 희생번트를 하는 게 값어치가 있는가?
    • 무사 주자 1,2루
      • 367건 중에 60% 득점으로 이어졌고, 평균 득점은 1.47점
    • 1아웃 주자 2,3루 (마지막 행)
      • 176건 중에 73% 득점으로 이어졌고, 평균 득점은 1.56점
    • 노아웃 주자 1,2루 상황에서는 희생번트가 성공만 한다고 하면 득점 가능성도 올라가고 평균득점도 올라가기 때문에 남는 장사이다.


2010년 한국 프로야구 성적

  • 팀별 공격력과 수비력 7
    • 종합적으로 보면 공수양면에서 4위 안에 들어서 밸런스를 갖추고 있는 팀이 SK이고 SK가 우승

  • 투수 순위 8

  • 타자 순위 9